Navalnyj förnekar att stiftelsen skulle vara extremistisk och ser det som ett försök att utesluta oppositionen inför parlamentsvalen i september.
En lag infördes i juni som förbjuder ledande personer inom extremiststämplade organisationer att ställa upp i val under fem år. Även medlemmar på lägre nivå, och finansiärer, ska kunna diskvalificeras under tre år.
Kritiker befarar att lagen därmed även riskerar att drabba de tiotusentals personer som stöttat Navalnyjs nätverk med donationer.
Tidigare i år dömdes Navalnyj till tre och ett halvt års fängelse för brott mot reglerna för en tidigare villkorlig dom om förskingring.